Benoit Mandelbrot in Leuven: een gesprek met de vader van de fractaaltheorie

Fractalen - Ze zijn erg populair. Voorbeelden zoals dit zijn bij honderdduizenden te vinden op het Internet. Minder bekend is dat de wiskunde die aan deze veelkleurige, intrigerende tekeningen ten grondslag ligt, onvermoed verregaande implicaties heeft voor ons begrip van tal van fenomenen uit onze omgeving, die voorheen slechts op erg onbevredigende wijze wiskundig beschreven konden worden. Benoit Mandelbrot, de bedenker van de term ‘fractalen’ en algemeen erkend als de geestelijke vader van de wiskunde achter al dit moois, was vorige week in Leuven om duiding te geven bij de toepasbaarheid van zijn theorie in de financiële wereld.

Benoit Mandelbrot is erg populair. Even googlen levert 206.000 hits op, iets meer dan u of ik. Op sommige websites wordt hij op één lijn gezet met Euclides, omdat zijn theorie leidt of kan leiden tot een compleet nieuwe visie op de wiskundige beschrijving van de wereld. Onder het nuttigen van een paar appelsapjes geeft hij minzaam te kennen dat hij zich wat ongemakkelijk voelt bij zoveel lof.

Mandelbrot werd geboren in 1924 in Warschau. In 1936 emigreerde hij met zijn familie naar Parijs, waar zijn oom een autoriteit was binnen de Bourbaki-groep, het Franse ‘auteurscollectief’ dat een aantal baanbrekende wiskundetractaten de wereld instuurde. Hij studeerde wiskunde in Parijs, en emigreerde na een aantal intellectuele omzwervingen naar de Verenigde Staten. In 1958 begon hij te werken in het onderzoekscentrum van IBM in Yorktown Heights, waar hij de basis van zijn theorieën uitwerkte. Later werd hij hoogleraar wiskunde aan de gerenommeerde universiteit van Yale. Zijn bekendste publicatie is allicht The Fractal Geometry of Nature (1975).

Monsters
“Ik ondervond al op jonge leeftijd dat ik een talent had voor patroonherkenning. Ik zag dingen die anderen blijkbaar niet zagen. Ik begreep ze niet, maar ik zàg ze, misschien een beetje zoals een kunstenaar dingen ziet en probeert weer te geven in verf of in steen of muziek. Ik ben wiskunde gaan studeren, en daardoor wilde ik wat ik zag, weergeven in wiskunde.”
“Al een paar duizend jaar werkt de klassieke wiskunde met punten, lijnen, vlakken, lichamen. Met ‘gladde’ dingen dus, geïdealiseerde begrippen, gekenmerkt door smoothness. Dat werkt best handig, maar het probleem is dat die in werkelijkheid niet bestààn. Dit glas is wel rond, maar niet in de wiskundige zin. Een kustlijn is geen lijn, maar een enorme verzameling hele grote en microscopisch kleine inhammen en uitstulpingen. Een boomstam is geen wiskundige cilinder, enzovoort. De ‘ruwe’ en dus niet wiskundig te beschrijven kant van de werkelijkheid, of eigenlijk de hele weergave van de complexe werkelijkheid, werd verwezen naar de kunst. Misschien daarom dat die twee werelden geacht worden zo haaks op elkaar te staan. Ik heb geprobeerd de idee van roughness wiskundig te vatten, om de ogenschijnlijk chaotische complexiteit van de werkelijkheid mee te vatten.”
“Ook de wiskunde zelf inspireerde daartoe. Rond het begin van de twintigste eeuw waren er in de wiskunde constructies opgedoken die niet aan de klassieke ‘gladde’ voorschriften leken te beantwoorden. Men sprak over monstrosities. Ik vond dat helemaal verkeerd, het waren juist géén monsters, maar de basis van een heel andere kijk op wat de wiskunde kon weergeven.”

Ondoenbaar
“Een ander vertrekpunt was de idee dat heel veel dingen op één of andere manier zichzelf lijken te bevatten en te herhalen. Een twijgje bevat de kenmerken van een hele boom, een blad bevat de kenmerken van een twijg, enzovoort. Of neem die kustlijn van daarnet. Je kunt die meten op een kaart. Je kunt ze door een voetganger laten afpassen, of door een mier, of door een nog kleinere ‘meter’, waardoor je telkens een heel ander resultaat zal krijgen. De resultaten zijn allemaal ‘juist’, maar duidelijk niet gelijk. De klassieke wiskunde had nauwelijks aandacht besteed aan de complexiteit die door deze scaling ontstaat. Ik heb aangetoond dat die complexiteit geen probleem is, maar juist een weg naar een oplossing.”
“In mijn theorie heb ik zelfherhaling en scaling geïntegreerd als basiskenmerken van een gebied van de wiskunde dat tot dan toe nauwelijks verkend was. Het heeft geleid tot erg onvermoede toepas-singen, zonder gebruik te moeten maken van de tot dan toe zo vaak ingeroepen ‘toevalsfactor’. Met de fractaalbenadering kan je structuurbeschrijvingen aanpakken van complexe zaken als een sneeuwvlok, het bloedvatensysteem, de vorming van wolken enzovoort. Er zijn ook toepassingen die door de klassieke wiskunde zo goed als genegeerd werden wegens ‘ondoenbaar’, bijvoorbeeld het prijsverloop van goederen of aandelen op korte termijn. Het blijkt dat de schommelingen op korte termijn een goede weergave bevatten van de schommelingen op lange termijn – zelfherhaling dus.”
“De bruikbaarheid van mijn werk wordt erkend, maar er is ook tegenkanting natuurlijk. Dat vind ik prima, want dat hoort bij de wetenschappelijke discussie. Waar ik minder mee opgezet ben, is dat mijn inzichten ook ‘gebruikt’ worden door warhoofden uit de sfeer van de New Age. Ik ben een wiskundige, en mijn ideeën zijn wiskundig. Met wereldverbetering en verlossing hebben ze niks te maken. Maar het heeft geen zin me daartegen te verzetten. Dus laat ik het maar zo...”
“Wiskunde is probleem-oplossend. Maar om een probleem te kùnnen oplossen, moet het eerst gezién worden. Wiskundigen zàgen vroeger geen probleem in de onbeschrijfbaarheid van een boomstam of een sneeuwvlok. Ik denk dat mijn grootste talent een goed oog voor problemen is. Ik stel liever vragen dan dat ik oplossingen aanreik.”

Wetenschappers en boekhouders
“Zonder de computer had ik mijn werk nooit kunnen doen. Ik heb het geluk gehad dat ik bij IBM mijn eigen onderzoek mocht doen, zonder dat er onmiddellijk een toepassing zat aan te komen. Op het einde van de jaren ’50 had je voor het werk dat ik deed aanzienlijke rekenkracht nodig. Vandaag kan dat met een beetje deftige pc, maar toen had je de bedrijfsapparatuur van IBM nodig.”
“Dat je voor het werken met fractalen zoveel rekenkracht nodig hebt, verklaart ook waarom de benadering van roughness pas erg laat in het menselijk denken opgedoken is. Toonhoogte, gewicht, stroomsterkte en dat soort zaken kan je met heel eenvoudige middelen berekenen en beschrijven, omdat het heel simpele concepten zijn. Maar roughness is veel moeilijker.”
“Ik weet niet of ik mijn werk ook vandaag nog had kunnen doen. Ik heb in alle vrijheid kunnen werken, zonder dat er een boekhouder over mijn schouder meekeek. De idee van efficiency is tegenwoordig zo diep doorgedrongen in de wetenschap. Ik begrijp dat enerzijds wel, omdat onderzoek en onderwijs nu eenmaal erg duur zijn. Wetenschap moét tot op zekere hoogte produceren, nuttig zijn. Maar je mag dat anderzijds niet tot onwrikbare norm maken. De meest ingrijpende ideeën zijn meestal helemaal niét efficiënt, of ze lijken het toch niet. Je moet getalenteerde onderzoekers laten freewheelen.”
“Trouwens, mijn werk voor IBM bleek bij nader inzien toch niet zo onnuttig. De continuïteit van het dataverkeer bezorgde het bedrijf veel zorgen. Regelmatig werd het contact tussen zender en ontvanger verbroken, zonder aanwijsbare reden, op het eerste gezicht volkomen willekeurig. Nu bleek dat die uitval prima berekend kon worden met fractalen... En het volstond om een zekere hoeveelheid redundante informatie met de datatransmissie mee te geven om het uitvalprobleem op te lossen. Zo zie je maar...”
“In Europa bestaan misschien toch wel verkeerde ideeën over de Amerikaanse onderzoekswereld. De middelen zijn er inderdaad groter, maar de strijd om die middelen te pakken te krijgen, slorpt enorm veel energie op die anders heel wat zinniger besteed had kunnen worden. Misschien is dat onvermijdelijk, ik weet het niet. Maar het is ook jammer.”

• www.math.yale.edu/users/mandelbrot/home.htm
• www.ultrafractal.com